Matlab中的矩阵运算实例

一、Matlab中矩阵的表示与创建

Matlab中矩阵是一种常见的数据类型，用来表示二维数据数组，通常用来处理科学计算、数据分析等数值问题。在Matlab中，矩阵可以用数值或变量来表示和创建。

1.1 矩阵的表示

Matlab中使用方括号（[ ]）来表示矩阵，用逗号（,）或空格隔开每个元素，用分号（;）或回车隔开每一行，如下面所示。

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

1.2 矩阵的创建

Matlab中可以使用多种方法创建矩阵，下面列举常见的几种方式。

（1）使用数值创建矩阵

可以直接把数值放入方括号中，用逗号或空格隔开每个元素，用分号或回车隔开每一行，如下面所示。

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

>> B = [10, 20, 30; 40, 50, 60; 70, 80, 90]
B =
10 20 30
40 50 60
70 80 90

（2）使用zeros函数创建矩阵

可以使用zeros函数创建一个元素全为0的矩阵，语法如下。

zeros(n)：创建一个 n×n 的矩阵。

zeros(m, n)：创建一个 m×n 的矩阵。

zeros([m, n])：同上。

>> C = zeros(3,4)
C =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

（3）使用ones函数创建矩阵

可以使用ones函数创建一个元素全为1的矩阵，语法与zeros函数类似，如下所示。

ones(n)：创建一个 n×n 的矩阵。

ones(m, n)：创建一个 m×n 的矩阵。

ones([m, n])：同上。

>> D = ones(2,3)
D =
1 1 1
1 1 1

（4）使用eye函数创建矩阵

eye函数用来创建一个单位矩阵，即主对角线上的元素全为1，其余元素都为0的矩阵。语法如下。

eye(n)：创建一个 n×n 的单位矩阵。

eye(m, n)：创建一个 m×n 的单位矩阵，主对角线上的元素全为1。

eye([m, n])：同上。

>> E = eye(3)
E =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

（5）使用rand函数创建矩阵

rand函数可以用来创建随机元素的矩阵，语法如下。

rand：创建一个 1×1 的矩阵，元素是一个在0到1之间的随机数。

rand(n)：创建一个 n×n 的矩阵，元素都是在0到1之间的随机数。

rand(m, n)：创建一个 m×n 的矩阵，元素都是在0到1之间的随机数。

rand([m, n])：同上。

>> F = rand(3,2)
F =
0.7612 0.2845
0.4505 0.6502
0.8359 0.7895

二、矩阵的运算

矩阵在数学中有加、减、乘等运算，Matlab也可以对矩阵进行这些运算，下面我们详细介绍一下。

2.1 矩阵的加减运算

（1）矩阵的加法

Matlab中的矩阵加法要求两个矩阵的维度相同，即行数和列数都相等，然后对应元素相加。矩阵加法的语法如下。

C = A + B

其中，A、B、C为矩阵，加法运算的结果存储在矩阵C中。

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
>> B = [10 20 30; 40 50 60; 70 80 90];
>> C = A + B
C =
11 22 33
44 55 66
77 88 99

（2）矩阵的减法

与矩阵加法类似，矩阵减法也要求两个矩阵的维度相同，对应元素相减。矩阵减法的语法如下。

C = A – B

其中，A、B、C为矩阵，减法运算的结果存储在矩阵C中。

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
>> B = [10 20 30; 40 50 60; 70 80 90];
>> C = A – B
C =
-9 -18 -27
-36 -45 -54
-63 -72 -81

2.2 矩阵的乘法运算

矩阵的乘法运算在Matlab中与其他运算有所不同，因为它有两种形式：矩阵乘矩阵和矩阵乘向量。下面我们分别介绍这两种情况。

（1）矩阵乘矩阵

矩阵乘矩阵的原则是，第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

矩阵乘矩阵的语法如下。

C = A * B

其中，A、B、C为矩阵，乘法运算的结果存储在矩阵C中。

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
>> B = [10 20 30; 40 50 60; 70 80 90];
>> C = A * B
C =
300 360 420
660 810 960
1020 1260 1500

可以看到，A和B的维度分别为3×3和3×3，相乘得到的结果矩阵C的维度是3×3。

（2）矩阵乘向量

矩阵乘向量的原则是，矩阵的列数等于向量的行数，结果向量的长度等于矩阵的行数。

矩阵乘向量的语法如下。

v = A * u

其中，A为矩阵，u为向量，乘法运算的结果存储在向量v中。

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
>> u = [1; 2; 3];
>> v = A * u
v =
14
32
50

可以看到，A的维度是3×3，u的长度是3，相乘得到的结果向量v的长度是3。

2.3 矩阵的除法运算

Matlab中矩阵除法分为左除和右除两种，分别表示解线性方程组时所用的两种方法。

（1）左除

左除运算用于解线性方程组Ax=b，即求解x的向量，A是系数矩阵，b是常数向量。矩阵左除的语法如下。

x = A b

其中，A为系数矩阵，b为常数向量，运算的结果存储在x中。

例如，求解下列方程组的解。

3x + 2y – z = 1
2x – 2y + 4z = -2
-x + (1/2)y – z = 0

可用以下代码：

>> A = [3 2 -1; 2 -2 4; -1 1/2 -1];
>> b = [1; -2; 0];
>> x = A b
x =
1.0000
0.0000
-1.0000

（2）右除

右除运算用于解线性方程组xA=b，即求解x的向量，A是系数矩阵，b是常数向量。矩阵右除的语法如下。

x = b / A

其中，A为系数矩阵，b为常数向量，运算的结果存储在x中。

例如，求解下列方程组的解。

x + y + z = 6
2y + 5z = -4
2x + 5y – z = 27

可用以下代码：

>> A = [1 1 1; 0 2 5; 2 5 -1];
>> b = [6; -4; 27];
>> x = b / A
x =
3.0000
-1.0000
2.0000

2.4 矩阵的转置运算

矩阵的转置运算是指将矩阵的行列互换，用来在矩阵运算中进行辅助计算。矩阵的转置运算的语法如下。

B = A’

其中，A和B为矩阵，矩阵A的转置矩阵存储在矩阵B中。

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
>> B = A’
B =
1 4 7
2 5 8
3 6 9

2.5 矩阵的求逆运算

矩阵的求逆运算是指求解 Ax=b 中的矩阵A的逆矩阵，用来解决线性方程组等问题。如果矩阵A可逆，则可以通过求逆矩阵解线性方程组 Ax=b。

矩阵的逆矩阵的语法如下。

B = inv(A)

其中，A为待求逆矩阵，求得的结果存储在矩阵B中。

例如，求解下列方程组的解。

x + y + z = 6
2y + 5z = -4
2x + 5y – z = 27

可用以下代码：

>> A = [1 1 1; 0 2 5; 2 5 -1];
>> b = [6; -4; 27];
>> invA = inv(A);
>> x = invA * b
x =
3.0000
-1.0000
2.0000

3. 总结

本文介绍了在Matlab中使用矩阵数据类型进行加减乘除等运算的方法。矩阵的操作是一种重要的数学工具，在科学计算和数据分析中有着广泛的应用。希望通过本文的介绍，能够让读者掌握熟练使用矩阵在Matlab中的运算方法。