Matlab函数中常见的奇异值分解方法

奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种重要的数学工具，它在信息处理、机器学习、图像处理等领域中被广泛应用。Matlab是一款强大的数值计算软件，拥有多种实现SVD的函数。本文将介绍Matlab中常见的SVD函数，包括svd、eig、qr等方法，并介绍SVD的原理和应用。

1. SVD的原理

SVD是矩阵分解的一种方法，在线性代数中有重要的应用。对于任意一个矩阵A，它可以被分解成下面这个形式的乘积：

A = UΣV^T

其中，U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵，其对角线上的元素称为A的奇异值。Σ的大小取决于矩阵A的大小，如果是mxn的矩阵，那么Σ的大小为mxn。SVD可以分解任意矩阵，其中U是矩阵A的左奇异向量，V是矩阵A的右奇异向量，Σ是矩阵A的奇异值。它们的性质如下：

（1）U是mxm的正交矩阵，V是nxn的正交矩阵。

（2）Σ是mxn的矩阵，除了对角线上的元素外，其余元素均为0。

（3）奇异值从大到小排列，奇异向量也相应排列。

SVD的应用非常广泛，它可以用于降维、提取特征、信号处理、矩阵近似等。在机器学习中，SVD经常被用于PCA（Principal Component Analysis）算法，通过SVD分解矩阵，可以得到最大的特征值和对应的特征向量，进而将原始数据降到一维到几维，以达到对原数据精简的目的。

2. Matlab中的SVD函数

在Matlab中，有多种实现SVD的函数，包括svd、eig、qr等方法。下面将分别介绍这些函数的使用方法和特点。

（1）svd函数

使用svd函数实现SVD分解，其调用方式为：

[U,S,V] = svd(A)

其中，A是待分解的矩阵，U、S、V是分别对应其左奇异向量、奇异值、右奇异向量，它们可以通过SVD分解得到。在实际应用中，我们通常只需要取S矩阵的前k个主对角线元素来进行矩阵近似，即将其他元素置为0，这样可以达到对矩阵的压缩效果。使用svd函数实现矩阵近似的方式如下：

k = 10 % 前10个奇异值参与矩阵压缩
S_k = zeros(size(A));
S_k(1:k,1:k) = S(1:k,1:k);
A_k = U*S_k*V’

在上述代码中，我们首先设定前k个奇异值参与矩阵压缩，然后构造一个全零矩阵S_k，并将S的前k个主对角线元素复制到S_k对应的位置中。最后，通过U、S_k和V进行矩阵乘法，即可得到压缩后的矩阵A_k。

（2）eig函数

Matlab中的eig函数也可以用来实现SVD分解，其调用方式为：

[U,D] = eig(A*A’)

其中，D是A*A’的特征值矩阵，U是其对应的特征向量矩阵。如果想要求得A的右奇异向量，则可以通过A’*U/D来得到，即：

V = A’*U/D

使用eig函数进行SVD分解的优点在于，它不需要求解A的伪逆矩阵，计算速度比svd函数相对快一些。但是，由于将A*A’进行分解，会出现特征值为0的情况，从而导致U矩阵可能会出现病态。

（3）qr函数

qr函数也可以用于SVD分解，其调用方式为：

[Q,R,P] = qr(A)
U = Q
S = R*P’
V = P

其中，Q是A的列正交化的结果，R是A的行正交化的结果，P是置换矩阵，其作用是保证求得的SVD满足奇异值从大到小的顺序。与前两种函数不同的是，qr函数的输出中并没有直接给出奇异值矩阵Σ，而是通过S=R*P’的形式来计算得到，这种表示方式不利于对奇异值进行筛选，需要自行进行处理。

3. SVD的应用实例

SVD在实际应用中非常广泛，下面以矩阵近似为例，介绍SVD的具体应用。

我们可以从一张图片入手，构造一个512×512的矩阵，然后对其进行SVD分解。下面是相关代码：

I = imread(‘lena.jpg’);
I = im2double(I);
[m,n] = size(I);
[U,S,V] = svd(I);
figure;
imshow(I);

上述代码中，我们使用imread函数读入一张名为lena.jpg的图片，并将其转化为double类型的矩阵。然后，通过svd函数对其进行SVD分解，并将得到的U、S、V矩阵进行可视化，如下图所示：

可以看到，U和V矩阵的大小都是512×512，分别代表图片的左、右奇异向量；而S矩阵的大小为512×512，其对角线上的元素即为原始图片的奇异值。接下来，我们将使用SVD分解得到的U、S、V矩阵来对该图片进行压缩处理。

对S矩阵进行筛选：由于SVD分解得到的S矩阵是按照奇异值从大到小排列的，因此我们可以通过保留前k个主对角线元素来进行矩阵压缩，这里我们取前100个奇异值（即前100个主对角线元素）进行矩阵压缩，代码如下：

k = 100;
A_k = U(:,1:k)*S(1:k,1:k)*V(:,1:k)’;

对A_k进行可视化：将矩阵A_k进行重构，并进行可视化显示，代码如下：

figure;
imshow(A_k);

上述代码中，我们首先将U、S、V中的前100个主对角线元素分别取出来，构造出一个新的S_k矩阵；然后，将U、S_k和V进行矩阵乘法，得到压缩后的矩阵A_k，并将其进行可视化显示，如下图所示：

可以看到，经过矩阵压缩之后，图片的清晰度有所下降，但整体轮廓依然清晰可见，压缩比也达到了100/512=19.53%。这充分说明了SVD在图像处理中的优越性，这种方法即能达到压缩的目的，又能保留图片的整体特征。

4. 总结

SVD是一种非常重要的数学工具，在信息处理、机器学习、图像处理等众多领域中都有着广泛的应用。Matlab作为一款强大的数值计算软件，提供了多种实现SVD的函数，包括svd、eig、qr等方法。在使用这些函数时，需要根据具体的应用需求进行选择，以达到最佳的计算效率和计算精度。