使用MATLAB进行分形几何研究

MATLAB作为一款高效的科学计算软件，被广泛用于各种领域的数据分析和研究，在分形几何研究中也拥有独特的优势。本文将介绍分形几何的相关概念，探究MATLAB在分形几何研究中的应用。

一、什么是分形几何？

分形几何是研究非整数维度或不规则形状的几何形态和规律的一门学科。由于分形几何具有长程相关性，在图像压缩、地貌学、生物学、金融、流体力学等方面具有广泛应用。

在分形几何理论中，常用的计算方法包括分形维数、盒维数、哈斯托夫维数等。其中，分形维数是最为直观的一种，它通过几何形状的自相似性来描述这种形状的复杂程度。若一个形状是复制自己的，那么其分形维数与其自身相同；若形状的自相似性不那么显著，那么其分形维数将大于其自身维数；反之，若形状的关联性更高，则其分形维数将小于其自身维数。

二、MATLAB在分形几何研究中的应用

MATLAB拥有一套完善的分析工具箱，可以用来研究、描述和可视化分形几何形状。下面将通过几个具体的例子来介绍其在分形几何研究中的应用。

1. 布朗运动分形维数计算

布朗运动是一种随机游走的分形现象，在金融和生物学中经常被用来建立模型。MATLAB可以利用随机游走过程来模拟布朗运动，并通过分形维数计算来度量其复杂性。

以下是一个简单的布朗运动模型代码：

% Define parameters
N = 5000; % number of steps
dt = 0.01; % step size
mu = 0; % mean
sigma = 1; % standard deviation

% Generate Brownian motion
B = zeros(1,N);
for i=2:N
B(i) = B(i-1) + sqrt(dt)*sigma*randn + mu*dt;
end

% Plot Brownian motion
plot(1:N,B)
xlabel('Time')
ylabel('Price')
title('Brownian motion')

下面是利用MATLAB计算布朗运动分形维数的代码：

% 之前的布朗运动生成代码
N = 5000;
dt = 0.01;
mu = 0;
sigma = 1;

B = zeros(1, N);
for i = 2:N
    B(i) = B(i-1) + sqrt(dt) * sigma * randn + mu * dt;
end

% 计算分形维度
p = 1:10;
Np = 2.^p;
L = zeros(size(Np)); % 长度尺度
q = zeros(size(Np)); % 分割函数

for i = 1:length(Np)
    n = Np(i);
    L(i) = 1/n;
    s = B(1:n:end);
    z = fft(s);
    zq = abs(z).^2;
    q(i) = sum(zq)/n;
end

% 对 q 与 L 的对数关系进行拟合
coeffs = polyfit(log(L), log(q), 1);
d = -coeffs(1);

% 绘制 log-log 图
plot(log(L), log(q), 'o', log(L), polyval(coeffs, log(L)))
xlabel('log(L)')
ylabel('log(q)')
title(sprintf('分形维度 = %f', d))

2. 曼德博集合可视化

曼德博集合是一种非常有趣的分形图案，可以通过简单的迭代算法生成。MATLAB提供了名为“mandelbrot”的函数，可以用来可视化这种分形。

以下是一个生成曼德博集合的MATLAB代码：

% 设置参数
width = 800;
height = 600;
minReal = -2;
maxReal = 1;
minIma = -1;
maxIma = 1;
max_iter = 200;

% 初始化结果矩阵
result = zeros(height, width, 'int32');

% 计算坐标的刻度值
real_inter = (maxReal - minReal) / width;
ima_inter = (maxIma - minIma) / height;

% 迭代计算
for tY = 1:height
    for tX = 1:width
        % 当前像素点在复平面的位置
        cX = minReal + tX * real_inter;
        cY = minIma + (height - tY) * ima_inter;

        % 初始化迭代变量
        zX = 0;
        zY = 0;
        iter = 0;
        length_sqr = 0;

        % 迭代
        while length_sqr < 4 && iter < max_iter
            iter = iter + 1;
            temp = zX * zX - zY * zY + cX;
            zY = 2 * zX * zY + cY;
            zX = temp;

            length_sqr = zX * zX + zY * zY;
        end

        result(tY, tX) = iter;
    end
end

% 显示结果
imagesc(result);
colormap(jet);
colorbar;
axis equal;