如何进行LLE分析？

LLE（Locally Linear Embedding）是一种非线性降维技术，它可以将高维数据映射到低维空间中，同时保留原始数据之间的拓扑结构。LLE方法的核心思想是，通过保留每个数据点与其相邻点之间的线性关系来计算低维嵌入。本文将介绍如何在Matlab中进行LLE分析，包括相关的函数和计算方法。

1. 数据准备

在进行LLE分析之前，需要准备用于分析的数据集。在Matlab中，可以使用load函数加载数据集。例如，下面是加载“swiss_roll”数据集的代码：

“`matlab
load(‘swiss_roll.mat’)
“`

加载数据集后，可以用scatter3函数将数据可视化，以便了解数据的结构。例如，下面的代码将“swiss_roll”数据集的第一、第二和第三个特征用于3D散点图可视化。

“`matlab
scatter3(swiss_roll(:,1),swiss_roll(:,2),swiss_roll(:,3))
“`

2. LLE函数

在Matlab中，可以使用LLE函数进行LLE分析。LLE函数的语法如下：

“`matlab
[Y,R] = lle(X,K,dims)
“`

其中，X是一个n by p的矩阵，表示n个p维数据点，K是一个整数，表示每个数据点的局部邻居数量，dims是一个整数，表示目标低维空间的维度。函数的输出是Y和R。Y是一个n by dims的矩阵，表示将原始数据映射到低维空间后的数据。R是一个n by n的权重矩阵，表示每个数据点与其局部邻居之间的权重。

在使用LLE函数之前，需要先设置欧几里得距离的度量方法。在Matlab中，默认的度量方法是euclidean，但LLE函数支持多种度量方法。可以使用pdist函数来设置度量方法。例如，下面的代码将度量方法设置为cityblock：

“`matlab
distance_matrix = pdist(X,’cityblock’);
“`

3. LLE计算方法

LLE方法的核心是如何计算每个数据点与其局部邻居之间的权重。下面将介绍LLE计算的具体步骤。

3.1 寻找局部邻居

首先，需要为每个数据点找到其局部邻居。可以使用knnsearch函数实现。该函数的语法如下：

“`matlab
[Idx,D] = knnsearch(X,Y,’K’,K)
“`

其中，X是一个n by p的矩阵，表示n个p维数据点，Y是一个m by p的矩阵，表示m个p维查询点，K是一个整数，表示每个查询点的邻居数量。该函数的输出是Idx和D。Idx是一个m by K的矩阵，表示每个查询点的邻居在X中的索引。D是一个m by K的矩阵，表示每个查询点与其邻居之间的距离。

例如，下面是如何使用knnsearch函数寻找“swiss_roll”数据集中每个数据点的5个邻居的代码：

“`matlab
K = 5;
[Idx,D] = knnsearch(swiss_roll,swiss_roll,’K’,K+1);
Idx = Idx(:,2:end);
D = D(:,2:end);
“`

注意，这里查询点和数据点都是“swiss_roll”数据集中的数据。

3.2 计算权重矩阵

计算每个数据点与其邻居之间的权重是LLE分析的核心。具体来讲，对于一个数据点，需要找到其最佳的重构权重，使得该点能够由其邻居线性重构得到。在Matlab中，可以使用lasso函数实现这一目标。该函数的语法如下：

“`matlab
beta = lasso(A,b,’Lambda’,lambda)
“`

其中，A是一个k by n的矩阵，表示n个数据点的k维重构系数，b是一个k by 1的向量，表示目标数据点的k维坐标，lambda是一个正则化参数。该函数的输出是beta，一个n by 1的向量，表示目标数据点与每个邻居之间的权重。

例如，下面是如何使用lasso函数计算第一个数据点（即“swiss_roll”数据集中的第一行）与其5个邻居之间的权重的代码：

“`matlab
k = 5;
n = length(swiss_roll);
W = zeros(n,k);
for i = 1:n
A = swiss_roll(Idx(i,:),:)-repmat(swiss_roll(i,:),k,1);
C = A’*A;
b = ones(k,1);
beta = lasso(C,b,’Lambda’,1e-6);
W(i,:) = beta’;
end
“`

注意到，这里设置了一个很小的正则化参数lambda，确保计算结果不会出现数值问题。

3.3 构造嵌入空间

在计算完每个数据点与其邻居之间的权重后，就可以将原始数据映射到低维空间了。具体来讲，可以通过最小化每个数据点在低维空间中与其邻居之间的距离来实现。在Matlab中，可以使用pdist2函数计算每个数据点在低维空间中与其邻居之间的距离。然后，可以使用cmdscale函数将距离矩阵转换为低维嵌入。

例如，下面是如何使用LLE函数将“swiss_roll”数据集投影到2D空间的代码：

“`matlab
k = 5;
dims = 2;
n = length(swiss_roll);
[Idx,D] = knnsearch(swiss_roll,swiss_roll,’K’,k+1);
Idx = Idx(:,2:end);
D = D(:,2:end);
W = zeros(n,k);
for i = 1:n
A = swiss_roll(Idx(i,:),:)-repmat(swiss_roll(i,:),k,1);
C = A’*A;
b = ones(k,1);
beta = lasso(C,b,’Lambda’,1e-6);
W(i,:) = beta’;
end
D1 = pdist2(swiss_roll,swiss_roll(Idx,:));
Y = cmdscale(D1);
scatter(Y(:,1),Y(:,2))
“`

注意，这里的距离矩阵D1是由pdist2函数计算得到的，其值等于每个数据点在低维空间中与其邻居之间的欧几里得距离。可以看到，“swiss_roll”数据集已经被成功投影到了2D空间。

综上，本文介绍了如何在Matlab中进行LLE分析，包括相关的函数和计算方法。LLE方法是一种非线性降维技术，可以帮助我们理解高维数据的结构和变化规律。即使在高维空间中，LLE方法也能够在保留数据拓扑结构的前提下将数据集投影到低维空间。