如何进行PCA分析？

PCA原理

PCA，即主成分分析（Principal Component Analysis），是一种常用的数据分析方法。其主要思想是通过线性变换将高维度数据映射到低维度空间中，使得不同变量之间的相关性变得更小，而同一组数据之间的差异或方差则尽可能地大。具体来说，PCA的目标是找到一组正交基，使得这些基组成的向量能够线性重建整个数据集的方差，且重建方差最大。

在计算过程中，将数据集表示为一个矩阵X（其中每一行代表一个样本数据），并设 X 的维度为n×m，其中 n 为样本数量，m 为特征数。同时，设矩阵U为基向量矩阵，维度为 m×k，其中 k 为映射后的低维度空间的维度。则PCA的目标为：找到 U 使得 X 映射到U空间后能够最大化重建方差，即：

同时，U的基向量必须满足正交性约束，即基向量之间互相垂直。

PCA的基础公式

PCA的基础公式有如下几个：

PCA 变换后的矩阵： Y= XU
PCA 的反变换： X′ = YU′T
基向量矩阵 ：U=(u1,u2,…,uk)
样本均值：μ = (1/n) * ∑x
数据归一化： X′= X – μ

PCA计算过程

PCA的计算过程包括以下几个步骤：

1.数据归一化
由于PCA是一种基于协方差矩阵的线性变换方法，因此必须先将数据归一化处理，具体来说，即针对每一维度数据，将所有样本的数据减去其均值，再除以标准差，即可将所有数据映射到同一区间内，消除量纲的影响。

2.求协方差矩阵
对于归一化后的数据X，可以通过计算其协方差矩阵来量化数据之间的相关性。其公式为：

$Cov(X) = (1/n)(X‐μ) (X‐μ) ^T$

其中，μ为样本的均值，n为样本数。

3.求协方差矩阵特征值和特征向量
对于协方差矩阵C，可以通过求解其特征值和特征向量来获取数据的主成分。具体来说，对于特征值 λi 和对应的特征向量 ui，有：

$(C – λiI)ui = 0$

其中， I 为单位矩阵。将该式变形可得：

$(X‐μ)(X‐μ)Tui = λiui$

上述式子表明，特征值 λi 表示主成分在该方向上的方差，而特征向量 ui 表示该主成分在原始数据空间中的方向。

4.筛选主成分，确定低维空间
根据特征值的大小和其对应的特征向量，可以确定哪些主成分对数据表征更加重要。具体来说，可以以如下两种方式来筛选主成分：

– 对特征值进行排序，选取保留主成分的阈值。对于保留主成分数目为k的情况，只需选择前 k 大的特征值对应的特征向量即可。
– 根据主成分的方差累积占比进行筛选。具体来说，设数据的前k个主成分方差累积占比为p，即

$p = (λ1+λ2+…+λk)/(λ1+λ2+…+λm)$

则选择k的值，以保证p达到预设的阈值即可。

5. 进行线性变换
确定保留的主成分后，将它们组成新的基向量矩阵U，即可将原数据X映射到低维度空间中。映射后的矩阵为：

Y = XU

其中，Y的维度为n×k，即每个样本被映射到了k维空间中。

PCA在Matlab中的实现

在Matlab中，可以使用princomp函数来实现PCA分析。该函数的基本用法如下：

1.输入参数
princomp(X): X为计算PCA的数据。若X为 m*n 的矩阵，则表示有m个样本，每个样本有n个特征。若 X 给定，则可以省略第二个参数。

2.输出参数
[COEFF,~,LATENT,~] = princomp(X): COEFF 为主成分对应的主向量矩阵，其中第k列即为第k个主成分对应的特征向量；LATENT 为各个主成分对应的特征值（按照从大到小排序）；

3.可选参数
princomp(X,’econ’): 在n>>m时，可以使用该参数来进行经济型奇异值分解，节约计算时间；

4.示例代码：

“` matlab
% 加载数据
load fisheriris
X = meas;

% 数据归一化
X0 = (X – repmat(mean(X),size(X,1),1))./repmat(std(X),size(X,1),1);

% 计算主成分
[coeff,score,latent] = princomp(X0);

% 可视化结果
figure; hold on;
gscatter(score(:,1),score(:,2),species);
xlabel(‘PC1’);ylabel(‘PC2’);
title(‘PCA analysis of fisheriris data’);
“`

综上，在进行PCA分析时，需要先处理好原始数据，然后计算其协方差矩阵，再求解特征向量和特征值，最后筛选出主成分并进行线性变换。Matlab中的princomp函数可以进行快捷的计算，并输出主向量矩阵COEFF和主成分对应的特征值。