如何进行小波分析？

一、小波分析概述

小波分析是一种处理非平稳、非线性系统的有效工具，它已经成为现代信号处理领域研究的重要技术，在图像处理、语音处理、振动信号分析、金融分析等领域中广泛应用，是时频分析的重要方法之一。小波变换是小波分析的核心操作，它能将信号分解为时间和频率两个维度，提供了更丰富的信息描述。Matlab提供了一套完整的小波分析工具箱，其中包含了多种小波函数和小波分析方法。

二、小波函数介绍

1、Daubechies小波函数

Daubechies小波函数是小波分析领域中最为常用的一类小波函数，它由Ingrid Daubechies在1988年提出，目前已经发展到第四代（db1-db20）。它的特点是正交性、紧支性和多项式精度，可用于处理各种时频分析问题。在Matlab中，Daubechies小波函数的命名方式为‘dbN’，其中N表示小波函数的阶数。

2、系数小波函数

系数小波函数是在Daubechies小波函数的基础上发展而来的一类小波函数，它采用非整数阶的多项式，不满足正交性和紧支性，但由于其更丰富的尺度和形状变化，可以更精细地描述复杂信号特征。在Matlab中，系数小波函数的命名方式为‘coifN’，其中N表示小波函数的阶数。

3、正交小波函数

正交小波函数是最早被提出的小波函数，它采用正交基函数，可以满足无限阶矩。但是其性能不如Daubechies小波函数和系数小波函数。在Matlab中，正交小波函数的命名方式为‘symN’，其中N表示小波函数的阶数。

4、父小波函数

父小波函数是一类理论上的小波函数，它是小波分析中的基本元素，可以用来构造各种小波函数。在Matlab中，父小波函数由函数‘wfilters’产生，使用时需指定父小波的类型和阶数。

三、小波分析方法介绍

1、小波变换（wavelet）

小波变换是将信号分解为时间和频率两个维度的过程，其主要思路是通过迭代地将信号分解为高低频两种信息的过程，直到达到最细分辨率。在分解过程中，采用不同的小波函数可以得到不同的分解结果。小波变换主要包含两种形式：离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）。

2、小波重构（IWavelet）

小波重构是将分解后的系数重新合成原始信号的过程，其主要思路是将高低频分量逆向合成，恢复原始信号。在重构的过程中，使用不同的小波函数和不同的阶数可以得到不同的重构结果。

3、小波包分解（wavedec2，wpdencmp）

小波包分解是一种结构化的分解方法，其可以对信号进行更细的尺度分解，并且可以灵活地选取分解的深度和分支。在小波包分解中，采用的小波函数可以是Daubechies小波函数、系数小波函数等。小波包分解主要包括两种形式：离散小波包分解（DWPT）和连续小波包分解（CWPT）。

4、小波压缩（wcompand，wpdencmp）

小波压缩是一种信号压缩的方法，它通过对信号分解并去除一部分小波系数来达到数据压缩的效果。在小波压缩中，需要对分解后的小波系数进行阈值处理，选择合适的阈值可以保证信号的质量和压缩比例。常用的阈值处理方法有基于硬阈值和基于软阈值等。

四、小波分析的应用举例

1、图像压缩

小波压缩可以将图像信号进行有效压缩，并且保持原始图像的大部分信息。在图像处理中，常用的小波函数是Daubechies小波函数和系数小波函数。Matlab提供了图像分解和重构的函数‘wavedec2’和‘waverec2’，以及小波压缩的函数‘wcompand’、‘wpdencmp’等。

2、振动信号分析

小波变换可以将振动信号分解成高低频分量，并对不同频带进行分析。常用的小波函数是Daubechies小波函数和系数小波函数。在Matlab中，可以使用‘wavedec’和‘waverec’函数来进行小波分解和重构，以及一些其他小波相关的函数如‘wcoherence’、‘wigner’等。

3、金融分析

小波变换可以对金融信号进行分解，并分析不同尺度上的特征。常用的小波函数是Daubechies小波函数和系数小波函数。在Matlab中，可以使用‘wavedec’和‘waverec’函数来进行小波分解和重构，以及一些其他小波相关的函数如‘wcoherence’、‘wigner’等。同时，Matlab还提供了一些专门用于金融分析的小波工具箱（Wavelet Toolbox for Finance）。

五、小波分析的计算方法

小波变换和小波重构是小波分析中最基本的操作，其计算方法主要包括离散小波变换和离散小波重构。在Matlab中，分别使用‘wavedec’和‘waverec’进行离散小波变换和离散小波重构。下面以Daubechies小波函数为例，介绍小波变换和小波重构的计算方法。

1、小波变换的计算方法

（1）初始化参数：设原始信号为x，小波函数为‘dbN’，分解级数为L。

（2）进行分解：调用函数‘wavedec’对原始信号进行L级离散小波变换，得到长度为N的小波系数向量c和长度为N的尺度向量d：

[c,d] = wavedec(x, L, ‘dbN’);

（3）得到小波系数：将c向量按照分解的层次分为L+1个部分，第1部分为最低分辨率的尺度系数，第i部分为第i级小波系数。

coeff = cell(1, L+1);
coeff(1) = d;
for i=1:L
[coeff(i+1), coeff(i)] = wavedec(coeff(i), 1, ‘dbN’);
end

（4）得到小波重构：调用函数‘waverec’根据小波系数和尺度向量进行小波重构，并得到重构后的信号y。

y = waverec(c,d,’dbN’);

2、小波重构的计算方法

（1）初始化参数：设小波系数为c，尺度向量为d，小波函数为‘dbN’。

（2）进行重构：调用函数‘waverec’对小波系数和尺度向量进行离散小波重构，得到重构后的信号y。

y = waverec(c, d, ‘dbN’);

（3）验证重构结果：将重构后的信号与原始信号进行比较，验证重构结果的准确性。

diff = norm(x – y); % 计算重构误差
plot(x, ‘b’); hold on; % 绘制原始信号
plot(y, ‘r’); % 绘制重构信号