如何计算数据的偏度和峰度？

一、偏度和峰度的定义

偏度是衡量数据集的非对称程度的指标，它描述的是数据分布的左右不对称程度，其值可以为负表达左偏，为正表达右偏。

偏度系数的计算公式为：

$$ Skewness = frac{sum_{i=1}^{N}{(X_i-bar{X})^3}}{(N-1)sigma^3} $$

其中，X为每个数据，$bar{X}$是数据的平均值，$sigma$是数据的标准差，N是数据的数量。

峰度是衡量数据集的峰态（峰状程度）的指标，它描述的是数据的分布的尖锐程度或平缓程度。其值可为负，对应于峰的左侧比较平，顶部比较平或完全尖锐，正数则对应于峰的右侧比较平，顶部比较平或完全尖锐。

峰度系数的计算公式为：

$$ Kurtosis = frac{sum_{i=1}^{N}{(X_i-bar{X})^4}}{(N-1)sigma^4}-3 $$

其中，X为每个数据，$bar{X}$是数据的平均值，$sigma$是数据的标准差，N是数据的数量。

可以看出，偏度和峰度系数均需要计算数据的平均值和标准差。然而，更简单的方法是使用Matlab中的内置函数进行计算。

二、使用Matlab计算偏度和峰度

在Matlab中，通常使用skewness()和kurtosis()函数计算数据的偏度和峰度。

1.计算偏度

格式：Skewness = skewness(X)

其中，X是一个向量、矩阵或多维数组。函数将利用输入参数矩阵X计算其偏度。输出参数Skewness是偏度系数。

示例：

X = [1, 2, 3, 4, 5];
Skewness = skewness(X)

输出结果为：

Skewness = 0

2.计算峰度

格式：Kurtosis = kurtosis(X)

其中，X是一个向量、矩阵或多维数组。 函数将利用输入参数矩阵X计算其偏度。输出参数Kurtosis是峰度系数。

示例:

X= [1, 2, 3, 4, 5];
Kurtosis = kurtosis(X)

输出结果为:

Kurtosis = -1.3

三、注意事项

1. 如果数据的偏度系数为0，则表示数据分布是对称的，即数据在左右两侧分布的概率相等。

2. 如果数据的偏度系数大于0，则表示数据分布偏向右侧，即数据在左侧的分布要比右侧的分布更为密集。

3. 如果数据的偏度系数小于0，则表示数据分布偏向左侧，即数据在右侧的分布要比左侧的分布更为密集。

4. 如果数据的峰度系数为0，则表示数据分布为正态分布，即数据分布呈现“钟形曲线”。

5. 如果数据的峰度系数大于0，则表示数据分布为尖峭分布，即该数据的分布更具有“离群值的特性。

6. 如果数据的峰度系数小于0，则表示数据分布为平坦分布，即数据分布更加简单。