如何在Windows上使用Matlab进行小波分析？

一、小波分析基本原理

小波分析是信号处理的一种重要方法，它将信号分解成一系列小波函数的线性叠加，从而实现对信号的多分辨率分析。小波函数是具有局部性质的基函数，可以用来描述信号的变化特征，在不同时间和频率上实现尺度变换和平移变换。小波分析的基本原理可以归纳为以下三个步骤：

1. 小波分解：将输入信号分解成小波函数的线性组合，得到不同尺度和频率的分量。这个过程可以用快速小波变换(Fast Wavelet Transform, FWT)实现。

2. 小波滤波：对小波分解得到的低频分量和高频分量进行滤波，去除高频噪声和冗余信息，得到有效的信号特征。

3. 小波重构：将小波滤波后得到的分量进行线性叠加，重构出原始信号。这个过程可以用快速逆小波变换(Fast Inverse Wavelet Transform, FIWT)实现。

二、小波分析具体实现方法

Matlab是一种基于矩阵计算的高级数值分析软件，除了自带的小波变换函数，还有一些第三方工具箱可以实现小波分析。下面分别介绍Matlab中的小波分解、小波滤波和小波重构的实现方法。

1. 小波分解：在Matlab中，可以使用wavemngr函数和wavedec函数实现小波分解。wavemngr函数用于选择小波基函数，在Matlab的Wavelet Toolbox中提供了多种小波基函数可以选择，如haar、db1、db4、sym8等。wavedec函数用于进行小波分解，其语法格式为：

[c,l] = wavedec(x,n,’wname’)

其中，x为输入信号，n为分解层数，’wname’为小波基函数名称。函数wavedec返回的参数c为小波系数向量，l为各分解层的长度信息。可以用下面的代码实现对一个信号的小波分解：

x = randn(1,256); % 生成256个随机数的信号
[c,l] = wavedec(x,3,’db1′); % 3层分解，小波基函数选为db1

2. 小波滤波：小波滤波通常采用硬限幅和软限幅的方法实现。在Matlab中，可以使用hardthresh和softthresh两个函数实现小波系数的硬限幅和软限幅。硬限幅是指将小于定值d的小波系数置为0，软限幅是指将小于定值d的小波系数按比例进行缩小。这两个函数的语法格式如下：

THR = wthrmngr(‘dw2d’,x); % 计算小波变换阈值
cH = hardthresh(c,THR); % 进行硬限幅
cS = softthresh(c,THR); % 进行软限幅

其中，THR是阈值，x为原信号。在Matlab中，可以使用wthrmngr函数计算小波变换的阈值，其语法格式为：

THR = wthrmngr(‘dw2d’,x);

其中，’dw2d’表示二维小波变换，x为小波分解后的低频分量矩阵。在实际应用中，可以通过试验选择合适的阈值大小，以达到去噪和去冗余的目的。

3. 小波重构：在Matlab中，可以使用waverec函数实现小波重构。waverec函数的语法格式为：

y = waverec(c,l,’wname’)

其中，c和l分别是小波系数向量和长度信息，’wname’为小波基函数名称。可以用下面的代码实现对一个信号的小波重构：

y = waverec(c,l,’db1′); % 进行小波重构

三、Matlab中小波分析应用示例

下面以对ECG信号的小波分析为例，介绍在Matlab中实现小波分析的完整流程。ECG信号是心电图信号的一种，其变化特征有多种不同频率和幅度的分量组成，因此适合用小波分析进行多分辨率分析。在Matlab中可以使用wfdb工具箱载入ECG信号，使用Wavelet Toolbox实现小波分解和小波重构。具体操作步骤如下：

1. 载入ECG信号：使用wfdb工具箱中的rdsamp函数载入ECG信号数据，其语法格式为：

[sig, Fs, labels] = rdsamp(recordname, [from to], ‘inputtype’, ‘outputtype’)

其中，recordname为数据名称，from和to为信号截取时间段，Fs为采样频率，labels为信号标签信息。

2. 进行小波分解：将载入的ECG信号数据进行小波分解，得到尺度系数和小波系数。可以使用wavedec函数实现小波分解，其语法格式为：

[c,l] = wavedec(sig, level, waveletname)

其中，sig为输入信号数据，level为分解层数，waveletname为小波基函数名称。

3. 小波系数滤波：对小波系数进行滤波，去除高频噪声和冗余信息。可以通过让小于一定阈值的小波系数置零，或对小于一定阈值的小波系数按比例缩小等方法实现滤波。在Matlab中可以使用hardthresh和softthresh函数实现小波系数的硬限幅和软限幅。

4. 小波重构：将滤波后的小波系数及尺度系数进行小波重构，得到去噪的ECG信号数据。可以使用waverec函数实现小波重构，其语法格式为：

y = waverec(c, l, wname)

其中，c为小波系数，l为尺度系数长度，wname为小波基函数名称。

下面给出ECG信号小波分析的完整Matlab代码示例：

% 载入ECG信号
recordname = ‘100’;
[sig,Fs,labels] = rdsamp(recordname,[1,4000],’channels’,1);
t = (1:length(sig))/Fs;

% 进行小波分解
wname = ‘db4’;
level = 3;
[c,l] = wavedec(sig,level,wname);

% 小波系数滤波
THR = wthrmngr(‘sqtwolog’,c);
cS = softthresh(c,THR);

% 小波重构
sigS = waverec(cS,l,wname);

% 画图
figure, subplot(211),
plot(t,sig);xlabel(‘Time (sec)’);ylabel(‘Amplitude’);
title(‘Original ECG signal’);
axis tight
subplot(212),plot(t,sigS);xlabel(‘Time (sec)’);ylabel(‘Amplitude’);
title(‘Denoised ECG signal’);
axis tight

小结

小波分析是一种重要的信号处理方法，可以实现对信号的多分辨率分析，对于频域和时域分析都有很好的效果。在Matlab中，可以使用Wavelet Toolbox实现小波分析的各个步骤，包括小波分解、小波滤波和小波重构。我们可以通过实例学习掌握这些小波分析的基本操作，灵活选择不同的小波基函数和滤波方法，便于分析各种不同类型的信号。