本文属于Matlab快速入门之线性代数的第四篇，即特征值，主要包括特征值的分解、多重特征值、Schur 分解等。
特征值的分解
方阵 A 的特征值和特征向量分别为满足以下条件的标量 λ 和非零向量 υ
Aυ = λυ。对于对角矩阵的对角线上的特征值 Λ 以及构成矩阵列的对应特征向量 V，公式为
AV = VΛ。如果 V 是非奇异的，这将变为特征值分解。
A = VΛV^–1。微分方程 dx/dt = Ax 的系数矩阵就是一个很好的示例：
>> A =[0,-6,-1;6,2,-16;-5,20,-10]
A =
0 -6 -1
6 2 -16
-5 20 -10此方程的解用矩阵指数 x(t) = etAx(0) 表示。如下语句，生成包含 A 的特征值的列向量。对于该矩阵，这些特征值为复数：
>> lambda = eig(A)
lambda =
-3.0710 + 0.0000i
-2.4645 +17.6008i
-2.4645 -17.6008i每个特征值的实部都为负数，因此随着 t 的增加，eλt 将会接近零。两个特征值 ±ω 的非零虚部为微分方程的解提供了振动分量 sin(ωt)。
使用这两个输出参数，eig 便可以计算特征向量并将特征值存储在对角矩阵中：
>> [V,D] = eig(A)
V =
-0.8326 + 0.0000i 0.2003 - 0.1394i 0.2003 + 0.1394i
-0.3553 + 0.0000i -0.2110 - 0.6447i -0.2110 + 0.6447i
-0.4248 + 0.0000i -0.6930 + 0.0000i -0.6930 + 0.0000i
D =
-3.0710 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i -2.4645 +17.6008i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -2.4645 -17.6008i
第一个特征向量为实数，另外两个向量互为共轭复数。所有三个向量都归一化为具有等于 1 的欧几里德长度 norm(v,2)。
矩阵 V*D*inv(V)（可更简洁地写为 V*D/V）位于 A 的舍入误差界限内。inv(V)*A*V 或 V\A*V 都在 D 的舍入误差界限内。
多重特征值
某些矩阵没有特征向量分解。这些矩阵是不可对角化的。例如：
>> A=[1 -2 1;0 1 4;0 0 3]
A =
1 -2 1
0 1 4
0 0 3
对于此矩阵
>> [V,D] = eig(A)
V =
1.0000 1.0000 -0.5571
0 0.0000 0.7428
0 0 0.3714
D =
1 0 0
0 1 0
0 0 3
λ =1 时有一个双精度特征值。V 的第一列和第二列相同。对于此矩阵，并不存在一组完整的线性无关特征向量。
Schur 分解
许多高级矩阵计算不需要进行特征值分解。而是使用 Schur 分解。
A = USU′,其中，U 是正交矩阵，S 是对角线上为 1×1 和 2×2 块的块上三角矩阵。特征值是通过 S 的对角元素和块显示的，而 U 的列提供了正交基，它的数值属性要远远优于一组特征向量。
例如，比较下面的亏损矩阵的特征值和 Schur 分解：
>> A=[6 12 19;-9 -20 -33;4 9 15]
A =
6 12 19
-9 -20 -33
4 9 15
>> [V,D] = eig(A)
V =
-0.4741 -0.4082 -0.4082
0.8127 0.8165 0.8165
-0.3386 -0.4082 -0.4082
D =
-1.0000 0 0
0 1.0000 0
0 0 1.0000
>> [U,S] = schur(A)
U =
-0.4741 0.6648 0.5774
0.8127 0.0782 0.5774
-0.3386 -0.7430 0.5774
S =
-1.0000 20.7846 -44.6948
0 1.0000 -0.6096
0 0.0000 1.0000
矩阵 A 为亏损矩阵，因为它不具备一组完整的线性无关特征向量（V 的第二列和第三列相同）。由于 V 的列并非全部是线性无关的，因此它有一个很大的条件数，大约为 1e8。但 schur 可以计算 U 中的三个不同基向量。由于 U 是正交矩阵，因此 cond(U) = 1。
矩阵 S 的实数特征值作为对角线上的第一个条目，并通过右下方的 2×2 块表示重复的特征值。2×2 块的特征值也是 A 的特征值：
>> eig(S(2:3,2:3))
ans =
1.0000 + 0.0000i
1.0000 - 0.0000i转载文章，原文出处：MathWorks官网，由古哥整理发布
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